«Из коробки» Obsidian не умеет работать в фоне, и если у вас настроена стандартная синхронизация хранилища, у вас могут не подтянуться обновлённые данные по заметкам. И чтобы всё работало правильно, нужно держать приложение и синхронизацию в фоне.
Run in Background — плагин для Obsidian, который позволит держать приложение и синхронизацию в фоне даже при закрытии приложения.
В настройках плагина вы можете дополнительно настроить автозапуск Obsidian при включении ПК и внешний вид иконок в Строке меню.

Больше никаких настроек не требуется, и после установки вы сразу же увидите новую иконку в Строке меню со статусом работы приложения и хранилища.
